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Matemática para Concursos

Sistemas Lineares

Resolvendo e classificando um sistema linear.

Publicado em 06/08/2010 08:09:43


Chamamos de sistema linear um conjunto de equações lineares. Esse conjunto pode ter m equações e n incógnitas. Resolver um sistema linear consiste em determinar o conjunto solução de suas incógnitas, isto é, encontrar os valores desconhecidos que tornem o sistema verdadeiro.

De acordo com a solução, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:

Possível e determinado: uma única solução
Possível e indeterminado: infinitas soluções
Impossível: não possui soluções.

Observe o seguinte sistema linear com três equações e três incógnitas:

Exemplo 1

Devemos aplicar conhecimentos matemáticos relacionados à resolução de sistemas no intuito de descobrir os valores de x, y e z. Nessas situações, o cálculo mental se torna muito complexo. Observe o método de resolução oferecido para este sistema linear:

1ª equação – Isolar x

x + 2y + 3z = 1
x = 1 – 2y – 3z

2ª equação – Substituir x por 1 – 2y – 3z

4x – y – z = 3
4 * (1 – 2y – 3z) – y – z = 3
4 – 8y – 12z – y – z = 3
–9y – 13z = 3 – 4
–9y – 13z = – 1

3ª equação – Substituir x por 1 – 2y – 3z

x + y – z = 6
1 – 2y – 3z + y – z = 6
– y – 4z = 6 – 1
– y – 4z = 5

Resolver o novo sistema determinando os valores de z e y.

A solução do sistema linear é: x = 1, y = 3 e z = –2. Nesse caso, o sistema é possível e determinado.

Exemplo 2

Isolar x na 1ª equação

x + 2y – z = 3
x = 3 – 2y + z

Substituir x na 2ª equação

3x – y + z = 1
3 * (3 – 2y + z) – y + z = 1
9 – 6y + 3z – y + z = 1
– 7y + 4z = – 8

Substituir x na 3ª equação

2x + 4y – 2z = 6
2 * (3 – 2y + z) + 4y – 2z = 6
6 – 4y + 2z + 4y – 2z = 6
0y + 0z = 6 – 6
0y + 0z = 0

Na ocorrência dessa situação dizemos que o sistema é possível e indeterminado, pois nesse caso as incógnitas admitem infinitas soluções. Por qualquer valor que trocarmos y e z na equação 0y + 0z = 0, tornamos a sentença verdadeira. Observe:

y = 3 e z = 4
0 * 3 + 0 * 4 = 0 → verdadeiro

y = 7 e z = – 4
0 * 7 + 0 * (–4) = 0 → verdadeiro

Um sistema será impossível quando na sua resolução ocorrer sentença semelhante a 0y = 4, pois nessas condições temos uma divisão impossível, 4 / 0.

Por Marcos Noé
Especial para o Banco de Concursos

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