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Matemática para Concursos

Sistema de equações com duas incógnitas

Resolvendo sistema de equações pelo método da substituição.

Publicado em 06/08/2010 07:56:08


Um sistema de equações com duas incógnitas é apresentado com duas variáveis em cada uma das devidas equações. Resolver esse tipo de sistema requer conhecimentos de álgebra na aplicação do método da substituição. As letras mais usuais nesse tipo de situação são o “x” e o “y”, mas podemos utilizar qualquer letra do alfabeto.

O método da substituição será apresentado na resolução do seguinte sistema de equações:

Exemplo 1

Isolando x na 1ª equação:
x + y = 2
x = 2 – y

Substituindo o valor de x na 2ª equação:
3x + 2y = 9
3 * (2 – y) + 2y = 9
6 – 3y + 2y = 9
− 3y + 2y = 9 − 6
− y = 3 * (−1)
y = − 3

Substituindo o valor de y na 1ª equação:

x = 2 − y
x = 2 − (−3)
x = 2 + 3
x = 5

Os valores que satisfazem o sistema de equação dado são: x = 5 e y = − 3

Exemplo 2

Isolando y na 1ª equação
2x + y = 7
y = 7 − 2x

Substituindo o valor de y na 2ª equação
5x − 2y = −5
5x − 2 * (7 – 2x) = −5
5x − 14 + 4x = −5
5x + 4x = –5 + 14
9x = 9
x = 1

Substituindo o valor de x na 1ª equação

y = 7 – 2x
y = 7 – 2 * 1
y = 7 – 2
y = 5

Os valores que satisfazem o sistema de equação dado são: x = 1 e y = 5.

Os sistemas são utilizados na resolução de problemas matemáticos. Observe:

Exemplo 3

A diferença entre dois números é 144, e a divisão entres eles é 5. Quais são os dois números?

A diferença entre dois números é 144 → x − y = 144

A divisão entre eles → x/y = 5

Isolando x na 2ª equação:
x = 5*y
x = 5y

Substituindo o valor de x na 1ª equação:
x – y = 144
5y − y = 144
4y = 144
y = 36

Substituindo o valor de y na 2ª equação:
x = 5y
x = 5 * 36
x = 180

Os números procurados são 180 e 36.

Exemplo 4

Dois números são tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6, os produtos são iguais. Considerando que o maior deles, diminuído de 3, é igual ao menor aumentado de 1, determine os números:  

Isolando x na 2ª equação:

x − 3 = y + 1
x = y + 1 + 3
x = y + 4

Substituindo x na 1ª equação:

5x = 6y
5 * (y + 4) = 6y
5y + 20 = 6y
6y – 5y = 20
y = 20

Substituindo y na 2ª equação:

x = y + 4
x = 20 + 4
x = 24

Exemplo 5

A metade da diferença entre dois números é 325 e o dobro de seu quociente é 28. Calcule os números.

Isolando x na 2ª equação  

Substituindo x na 1ª equação:

Substituindo y na 2ª equação:

x = 14y
x = 14*50
x = 700

Por Marcos Noé
Especial para o Banco de Concursos

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