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Matemática para Concursos

Fração Geratriz

Calculando a fração geratriz responsável pelo número decimal periódico infinito.

Publicado em 29/07/2010 10:52:41


Chamamos de fração geratriz aquela que possui como resultado um número decimal infinito, isto é, uma dízima periódica. Em algumas situações temos que descobrir a fração que originou o número decimal, utilizando algumas técnicas matemáticas que envolvem a utilização de equações. Para um melhor entendimento das formas de transformação de decimais infinitos periódicos em frações, acompanhe os cálculos detalhados nos exemplos seguintes.

Exemplo 1

Vamos determinar a fração geratriz referente ao número decimal dado por 0,666... .

Denominaremos o número decimal 0,666... por x:

x = 0,666...

Observe que à direita da vírgula o número possui um período simples, composto apenas pelo algarismo 6. Dessa forma, iremos multiplicar os dois membros da igualdade por 10.

x = 0,666... * (10) → 10x = 6,666...

Agora basta subtrairmos as equações:

10x = 6,666...
– x = 0,666...

9x = 6
x = 6/9

A fração geratriz referente ao decimal periódico infinito 0,666... é dada por 6/9.

Exemplo 2

Determine a fração geratriz responsável pelo número decimal 0,232323... .

Da mesma forma denominaremos 0,232323... por x:

x = 0,232323...

Nesse caso, à direita da vírgula tem um período formado por dois números, então multiplicaremos a equação por 100.

x = 0,232323... * (100) → 100x = 23,232323...

Realizando a subtração entre as equações:

100x = 23,232323...
– x = 0,232323...

99x = 23
x = 23/99

A fração geratriz no número 0,232323... é representada por 23/99.

Exemplo 3

Nesse exemplo demonstraremos um número decimal com período composto por um algarismo distinto: 1,58888... . Denominaremos o decimal de x e logo em seguida multiplicaremos por 10.

x = 1,58888... * (10) → 10x = 15,8888...

Agora realizaremos outra multiplicação por 10:

10x = 15,8888... * (10) → 100x = 158, 8888...

Realizando a subtração entre as frações:

100x = 158,8888...
–10x = 15,8888...

90x = 143
x = 143/90

A fração geratriz referente ao decimal 1,5888... é equivalente a 143/90.

Por Marcos Noé
Especial para o Banco de Concursos

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