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Matemática para Concursos

Área total de um cone

Fórmula para o cálculo da área total de um cone

Publicado em 16/12/2010 13:56:54


O cone é um sólido geométrico obtido da revolução de um triângulo em torno de seu eixo vertical. Os cones podem ser classificados em: cone circular oblíquo e cone circular reto. Iremos focar nossos estudos sobre o cone circular reto, que é obtido após a revolução de um triângulo retângulo em torno de seu eixo vertical. Por apresentar uma das faces arredondadas, os cones também são denominados de corpos redondos.

A figura a seguir exibe a planificação de um cone

Onde,
g → é a geratriz do cone
r → é o raio da base

Relação importante: g2 = h2 + r2; onde h é a altura do cone.

A área total do cone é a soma da área da base com a área lateral. Vamos determinar cada uma dessas áreas e, em seguida, a área total do cone.

1. Área lateral do cone

De acordo com a planificação do cone verificamos que sua área lateral equivale à área de um setor circular. Assim, temos que:

2. Área da base do cone

A base do cone é uma circunferência de raio r e sua área é dada por:

3. Área total do cone

A área total, como foi dito anteriormente, é a soma da área lateral com a área da base. Assim, teremos:

Colocando πr em evidência obteremos:

Observe que a área total é dada em função somente da medida do raio da base e da geratriz do cone.

Exemplo 1. Calcule a área total de um cone cujo raio da base mede 6cm e a altura 8cm.

Solução: Para calcular a área total do cone é preciso conhecer as medidas do raio da base e da geratriz. Como foram dados somente a medida do raio e da altura, precisamos determinar a medida da geratriz. Para isso utilizaremos a relação fundamental existente entre esses três elementos.

g2 = h2 + r2
g2 = 82 + 62
g2 = 64 + 36
g2 = 100
g = 10 cm

Conhecidas as medidas do raio e da geratriz, basta aplicar a fórmula da área total. Segue que:

Exemplo 2. Determine a área total do cone abaixo.

Solução: Pela figura temos que r = 40 cm e g = 70 cm. Como já conhecemos as medidas do raio da base e da geratriz, podemos aplicar diretamente a fórmula da área total.

Por Marcelo Rigonatto
Especial para o Banco de Concursos

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